请阐述 Sigmoid 函数的数学表达式与核心特性，并说明在逻辑回归模型中它承担什么角色、为什么被选用。

回答思路

1. 【回答框架 1】Sigmoid函数的数学形式为 σ(z)=1/(1+e^(-z))，其输出范围固定在(0,1)，当z趋于正无穷时输出趋近1，z趋于负无穷时趋近0，且在z=0处函数值为0.5，曲线呈S形，处处可导，导数形式为σ(z)(1-σ(z))，便于梯度计算。
2. 【回答框架 2】逻辑回归本质是线性组合 z=w·x+b 后通过Sigmoid映射，将任意实数范围的z压缩到(0,1)，从而可以解释为样本属于正类的概率估计，这是线性模型无法直接给出的。
3. 【回答框架 3】选用Sigmoid还因其单调递增特性，保证概率排序与线性得分一致；同时其导数简单，在梯度下降法中能高效更新参数。
4. 【回答框架 4】在实际应用中，Sigmoid输出常与阈值（如0.5）比较得到分类决策，但需注意其输出只是条件概率估计，并非分类置信度，且存在梯度饱和问题。
5. 【回答框架 5】在神经网络中，Sigmoid曾被广泛使用，但由于梯度消失和输出非零中心化，如今在深层网络中多被ReLU等替代，但在逻辑回归和输出层做二分类概率输出仍常见。
6. 【关键点 1】Sigmoid将实数映射到(0,1)，表达式为1/(1+e^(-z))，导数σ(1-σ)。
7. 【关键点 2】逻辑回归用Sigmoid将线性输出转为正类概率，实现分类。
8. 【关键点 3】选择依据是输出可解释为概率、处处可导且单调。
9. 【关键点 4】注意其输出非零中心、深层网络梯度饱和的缺点。
10. 【关键点 5】最终分类决策通常比较概率与阈值，但阈值可调。
11. 【易错点 1】将Sigmoid输出直接视为模型置信度，忽略了阈值和样本分布影响。
12. 【易错点 2】在深层网络中忽视梯度饱和导致训练缓慢的问题。
13. 【易错点 3】混淆Sigmoid输出与概率的真实性，实际概率校准需要额外做。